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函数极限趋于无穷的性质及其证明？

首先，极限的概念有两种形式，一种就是直观的形式，一种就是严格的逻辑定义，在微积分发明的前100多年，大家一直用的是极限的直观形式，到100多年以后才由数学家建立了严格的逻辑语言，如果你想学严格的逻辑语言，我有一个链接，你可以去仔细的看：

介绍用严格语言证明极限时常用的两个方法：适当放大(或缩小)法和提前约束法

下面只讲一下直观的极限定义和直观的极限证明：

先讲一下x趋近于无穷大时f(x)的极限为A的的直观的定义：如x的绝对值无限变大的时候，f(x)与A的距离可以任意的小，那我们说当x趋近无穷大时，f(x)的极限为A。

下面我们叙述一下极限的保号性，并用上述直观定义证明这个极限的保号性。

极限的保号性是指：如果x趋近于无穷大时f(x)的极限大于零，则当x趋近于无穷大的时候（也就是x的绝对值，足够大的时候），f(x)也大于零。

由于极限是一个数，他又比零大，那么极限到零的距离的一半也是一个正数d，因为根据极限的直观定义，只要x的绝对值足够的大就可以让f(x)与极限的距离小于d（因为他可以任意的小），由于极限是大于零的，而且极限与零的距离是2d，因此，只要函数与极限的距离小于d，那么函数f(x)就大于零。也就是说，当x绝对值足够大时f(x)就大于零。这样我们就证明完了极限的保号性。

用极限定义证明极限的几种方法取点法可不可以随便设定一个范围？

严格的说是可以随便设的，因为x趋近于2，就意味着x-2无限趋近于0，如果设|x-2|<2的话，右边的一么司龙是带倍数的，实际上没有影响，为了整洁好看和方便，取|x-2|<1,，因此之前去5分之一么司龙。这样就可以使最后是个整的没有倍数的一么司龙。其实实际上自己算的时候不取整也无所谓。一么司龙趋近于0，它的任意倍数也一样。 不知道说的明白不明白，你学多了就懂了

函数极限的定义中是任意还是存在？

设函数在点的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的函数值都满足不等式，那么常数A就叫做函数当时的极限。

函数极限是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都是在函数极限的定义上完成的。常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。

证明二元函数极限不存在的方法总结？

二元函数在某点处极限（即二重极限）的定义比一元函数极限定义“苛刻”得多，因此二重极限不存在的情形也比一元函数极限不存在的情形更加复杂。证明二元函数在某点处极限不存在是高等数学中“多元函数微分”部分的一种基本题型，本节通过例题来介绍证明此类问题的常见方法。

1、证明二重极限不存在的方法概述。

2、证明沿不同直线极限值不相等。

3、证明沿不同曲线极限值不相等。

4、对例2的评注（二重极限存在性的深入理解）。

5、证明两个累次极限都存在但不相等。

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如何判断二元函数的极限存在？

二元函数的极限以定义是无法判定的 因为其极限的定义为以任意方式趋近于某点都趋近于某固定值。

而曲面上可以有无数种方式趋近某点 不像一元函数只有三种趋近方式，从左趋近，从右趋近，从左到右再趋近于点。但是极限不存在却可以证明，因为只要你在这无数趋近方式中找到一种就可以验证其不存在。考试上会暗示你这个极限一定会存在的 所以不用担心。例如他让你求证lim（x→0，y→0）f（x，y）=0 此时你就不用证它 ，将其用公式求解即可。

一个函数如何看左右极限是否存在？

1、如果是连续函数 （continuous function）那么，在定义域（domain）内的所有点的左右极限都是存在的。也就是，所有点的左极限、右极限，分别存在，并且相等。并且，这个极限值就是函数值。.

2、如果是分段函数（piecewise function）在分段连续的区域内的所有点的左右极限都存在，极限值等于函数值。对于分段函数的间断点，就得分别考虑、分别计算。只要连续，左右极限就存在并相等；只要不连续，无论左右极限存在与否，整体而言的极限就不存在。.

3、对于定义域的分界奇点（singularity），极限不存在。.

证明函数存在极限时，需要证明左右单侧极限各自存在并且相等吗？

不一定，要看情况而定。 .

1、如果是计算性证明，在分段函数的情况下， 无论连续不连续，都一定得分左右证明； .

2、在连续性的情况下，可以整体证明，也可以 分别证明。整体性证明是指无需分左右就能 得出结论的情况，这种情况比比皆是，任何 一个函数在定义域内都是如此。 .

3、若是用定义证明，也就是ε-δ 方法证明时， 得到的是 δ 对应于 ε 的区间，无需画蛇添足 再去多此一举。多此一举者反而显得对 ε-δ 方法并没有真正理解。 定义性证明就是原理性证明。 .